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某些高阶线性微分方程解的复振荡性质.pdf 9页

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某些高阶线性微分方程解的复振荡性质 第2章 一类高阶整函数系数微分方程解的增长性 §2.1引言与结果 陈宗煊和杨重骏在文[3]中证明了下面两个定理和两个推论: 片且:一*时 l^1(:)I≤exp{o(1)I=I”6}, 那么方程 ,”+AL厂’+A∥=0 (2.1) 的每个非零整函数毹,满足口(,)=+m,且0"2(,)=口(Ao). 定理B在定理^的条件下,F毒O为有限级整函数,那么方程 f。+A0t+A《=F t2.2) 至多有一例外解^满足a:(.fo)<a,其余所有解都满足A2(,)=G2(厂)=a. 推论C在定理』4中.方程(2.1)的每个整函数解满足A 2(I厂一。)=0"2(.r). =6的解都满足A:(,一:)=0"2(.,). 现在将上述结果推广到更一般的情形:一方面,推广两个定理到高阶线性微 分方程;另一方面,将两个推论中对Jr取不动点的讨论推广到对,取小函数g的 时论,得到 定理2.1假设日为一复数集,满足dens{1=|:z6H}>0.且设Ao,…,A女一1 当:∈/4且:一。。时 (2.3) IAi(:)l。<exp{O(1)l:I…},l≤J≤k一1, I 4¨=J (2.4) I≥exp{(】+o(1))CI:I…。 那么方程 .7““+A女.L,‘一‘t。·‘+.4nr=o i!.5j 的每个非零整函数解‘厂有无穷级且O"2(.r)=口(.-10)=口. 若g为一有限级非零整函数,则(2.5)的所有非零解.r还满足:j(.,1-d:(,、 =石. 定理:.:在定理:.1的假设下.F和g都为有限级非零整函数,且f’一 (g‘。、+.4^一191‘一1、+‘·’+.409)盎0.勇B么方程 .厂‘+{^“,^-¨+…+』4吐厂=F (2.6 ^ 某些高阶线性微分方程解的复振荡性质 (力=a. §2.2引理 0,使得r≥ro时,都有 G(r)≤日(口r). 为g的中心指标,那么 孟虹阜剑:口 r·一J097 zEH且产∞时 I山(:)I。<exp{o(1)l:Ip},1≤j≤k一1 IAo(:)I>一exp{(1+o(1))aI引口1. 那么方程(2.5)的每个非零解厂有O"2(,)≥卢. 引理2.4【6]假设.厂(:)是非常数整函数,口>1和£>0是给定常数,那么存 在常数C>0和集合E2c[0,*)有有限线测度,满足对所有I:I=r仨E, f)r'log丁(口r’D]J,jC-N. I筹导l≤c[r(o,r §2.3定理2.1和定理2.2的证明 定理2.1的证明假设,(:)≠O是方程(2.5)的整函数解,根据微分方程基 的任意性,我们得到啦∽≥o(ao)=口. . 数测度,对所有满足l:I’=r岳[0,1]U如且I,(:)l=M(r,,)的:,有

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